Женя (civil_engineer) wrote,
Женя
civil_engineer

Две серьёзные задачи.

1. Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a^2 + b^2 + c^2 = d^2. Доказать, что число abc делится на 4. (notation: a^2 - a квадрат)

2. Найдется ли такое натуральное число n, при котором 2n + n^2 оканчивается цифрой 5?

Ответы:
1. Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1.
Если числа a, b, c — нечетные, то d^2 должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно.
Если среди чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d^2 должен давать при делении на 4 остаток 2, что также невозможно.
Значит, среди чисел a, b, c есть два четных числа, откуда произведение abc делится на 4.
Такое возможно, например, 32 + 42 + 122 = 132.

2. нет.
Число 2n может оканчиваться одной из цифр 2, 4, 8, 6 (с периодом 4), а число n^2 — одной из цифр: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 (с периодом 10). Отсюда число 2n + n^2 будет оканчиваться на 5, если 2n оканчивается на 4 или на 6, то есть когда число n — четно, но тогда 2n + n^2 — четно, значит, не может оканчиваться на цифру 5.

Найдется:
n²+2n=(n+1)²-1
последняя цифра - это остаток от деления на 10, поэтому, чтобы последняя цифра равнялась 5, достаточно выполнения условия:
(n+1)²-1≡5[10]
(n+1)²≡6[10]
То есть подходит любой квадрат, оканчивающийся на 6. То есть любое число, оканчивающееся на 4 или 6. То есть ответ - любое число, оканчивающееся на 3 или на 5.
thanks to son_de_la_voix
Tags: math
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 24 comments